Funciones de transferencia G(s) y G(k)

 %%Definicion de funcion de transferencia 

Numerador= [1 5];

Denominador =[3 6 8];

G=tf(Numerador,Denominador)

step(G)

stepinfo(G)

% Tiempo discreto

%T=0.1;

%GLz=tf(2,[1 2], T)

%step(GLz)

Tiempo de sobrepaso máximo: 2.2105

Tiempo de establecimiento: 3.4360

Máximo sobre impulso: 0.6837

Tiempo de asentamiento: 3.4360

Tiempo de sobrepaso máximo: 0.7184

Tiempo de establecimiento: 0.1790

Máximo sobre impulso: 0.5351

Tiempo de asentamiento: 0.1790

%%Definicion de funcion de transferencia 

Numerador= [7 9];

Denominador =[1 5 7];

G=tf(Numerador,Denominador)

step(G)

stepinfo(G)

% Tiempo discreto

%T=0.1;

%GLz=tf(2,[1 2], T)

%step(GLz)

Tiempo de sobrepaso máximo: 1.7894

Tiempo de establecimiento: 3.3128

Máximo sobre impulso: 0.9157

Tiempo de asentamiento: 3.3128

%%Definicion de funcion de transferencia 

Numerador= [4 7];

Denominador =[4 7 9];

G=tf(Numerador,Denominador)

step(G)

stepinfo(G)

% Tiempo discreto

%T=0.1;

%GLz=tf(2,[1 2], T)

%step(GLz)

Sistemas discretos de primer orden

 ¿Qué son?

• Son sistemas que trabajan con datos muestreados

• Estos sistemas son controlados por computador

• Los controladores se desarrollan en computadores

 

Ejemplo de datos muestreados

Sistemas continuos de primer orden

 Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente:

Donde k se denomina ganancia del proceso y t es la constante de tiempo del sistema. En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

Ejemplo

un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le extrae el mismo caudal:

Del balance de materia

Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal

Estado estacionario:   

 Por lo tanto

Que es de la forma

Donde

¿Qué es la constante de tiempo en un sistema de primer orden?

La constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente denotada por la letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para que el sistema alcance el 63,2% del valor final o de estado estable. Por lo tanto la constante muestra la velocidad del sistema ante una determinada entrada para alcanzar el regimen permanente.

Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del sistema. Si la constante de tiempo es mayor, el sistema se mueve lentamente en su respuesta transitoria.

Entonces, la respuesta transitoria se define como la dinámica del sistema desde el estado inicial hasta alcanzar el estado estacionario, donde en un sistema de primer orden la respuesta transitoria tiene una duración de 4 veces la constante de tiempo.

Como identificar un sistema de primer orden

Esto se hace de forma muy simple, para eso basta con observar el valor del máximo exponente de la derivada cuando el sistema es representado por ecuaciones diferenciales. En este caso el máximo exponente debe ser 1.

Cuando es representado por función de transferencia, se observa el denominador, donde el máximo exponente de la variable compleja s debe ser igual a 1.

Sistemas continuos de segundo orden

 En comparación con la simplicidad de un sistema de primer orden (Sistemas de primer orden), un sistema de segundo orden exhibe una amplia gama de respuestas que deben analizarse y  describirse. Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

 

La forma estándar de la función de transferencia de un sistema de 2do orden es:

El diagrama de bloques de la Figura 1 representa a un sistema de segundo orden de tipo cero. Físicamente, este diagrama puede ser el modelo de un motor DC, el modelo de una red eléctrica o de un mecanismo con resorte, amortiguador y masa. Por ello, el sistema de segundo orden es de gran interés académico, industrial y tecnológico, de los más importantes para el estudio.

 

Los sistemas de segundo orden son esenciales en el diseño de sistemas de control.

En consecuencia, es de gran utilidad entender que el modelo de la Figura 1 suele provenir de un sistema realimentado como el de la Figura 2:

El sistema de la Figura 2 se puede ver como un sistema de control básico. Una planta de segundo orden de tipo 1, con un polo en s=-2ζω_n, en serie con un controlador proporcional, y realimentación unitaria. Para diseñar un sistema de control, por excelencia se utiliza principalmente la entrada escalón unitario como señal de prueba. Es así porque a partir de ella, derivando podemos hallar la respuesta al impulso unitario, e integrando, la respuesta a la rampa unitaria. El comportamiento del sistema de control ante una entrada escalón unitario depende de estos tres factores: la ganancia k , el coeficiente de amortiguamiento ζ, y la frecuencia natural ω_n. Con solo conocer el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, podemos determinar la forma de la respuesta del sistema. Por otra parte, en ocasiones podremos cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control con sólo variar el valor de la ganancia k, como veremos en el caso siguiente, cuya respuesta aparece más adelante.

Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. 

La ecuación (1) tiene dos polos:

Las raíces del polinomio del denominador de la ecuación (1) son los polos del sistema. A continuación se muestra la clasificación general de la respuesta de sistemas de segundo orden a la entrada escalón unitario,  determinada por la posición de sus polos en el plano “s”:

 

·         Subamortiguado (polos complejos conjugados con parte real negativa)

·         Críticamente amortiguado (polos reales puros – negativos e iguales – llamado polo doble)

·         Sobreamortiguado (polos reales puros – negativos y diferentes)

·          Oscilatorio (polos imaginarios puros)

·         Inestable (polos complejos conjugados con parte real positiva)

Región de estabilidad

 Al evaluar (4.8) se observa que para valores de b mayores que 1 el termino exponencial crece indefinidamente, y por tanto la respuesta se hará´ infinita. El termino b coincide con la magnitud de los polos de (4.7), tal como se muestra en la figura 4.19, por lo tanto, la región de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los polos para que el sistema sea estable resulta ser el círculo unitario centrado en el origen, tal como se ve en la figura 4.22.

Región de tiempo máximo de asentamiento

 La respuesta transitoria de (4.7) es el producto de la exponencial b^k por la sinusoide sin(ak + φ), es decir, su amplitud es menor o igual que b^k.

Si tomamos el tiempo de asentamiento como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera el 5% de su valor máximo en el sinusoide sin(ak + φ), es decir, su amplitud es menor o igual que bk.

Región de frecuencia máxima de oscilación

 La frecuencia de oscilación de la respuesta es la frecuencia de la sinusoidal de (4.7), es decir es a, que corresponde al ángulo de los polos de (4.7) respecto a la horizontal (ver figura 4.19). Por esta razón, la región de frecuencia máxima de oscilación es la que se muestra en la figura 4.24.

Sistemas discreto de segundo orden

 Supóngase ahora un sistema discreto de segundo orden, cuya función de transferencia sea:

Los polos de la función de transferencia serán:

El término del radical será menor o igual que cero; en caso de que sea menor, los dos polos serán los complejos conjugados:

Al estimular el sistema (4.7) con un paso unitario µ(k), con condiciones iniciales nulas, la respuesta:

Donde y(k) puede calcularse como sigue: sumando e igualando coeficientes se obtiene

Finalmente, las dos sinusoidales se pueden agrupar en una sola, para obtener:

Donde

Región de sobrepico máximo

Uno de los parámetros más importantes de la respuesta graficada en la figura 4.11, es el sobrepico máximo, sp, que indica que tanto llega a valer la respuesta en relación con su valor final:

donde y_max es el valor máximo, y y_final el valor final (estacionario) de y(t).

Para calcular el sobrepico máximo, primero derivamos y(t) e igualamos a cero para obtener los instantes t_c en los que suceden los máximos y mínimos de

Para obtener el valor del arco tangente en la ecuación anterior, obsérvese en la figura (4.8) el valor de tanφ:

La función tan−¹(x) es periódica, de periodo π, por lo tanto.

Existen infinitos instantes en los que la derivada de y(t) es nula, que corresponden a los máximos y mínimos locales que se observan en la figura 4.11. Para n = 0 resulta t = 0, por lo tanto la respuesta y(t) es prácticamente horizontal en su inicio. El sobrepico máximo sucede en tc, que corresponde a n = 1:

El valor de y(t) en tc es el valor máximo de y(t), es decir ymax = y(tc)

Mapeo del plano s al z y viceversa

 En vista de que las variables complejas  y  están relacionadas mediante , la localización de los polos y los ceros en el plano  está relacionado con la localización de los polos y ceros del plano . Por lo tanto, la estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo puede determinarse con base en las posiciones de los polos de la función de transferencia pulso en lazo cerrado. Debe observarse que el comportamiento dinámico del sistema de control en tiempo discreto depende del período de muestreo .

Correspondencia del semiplano izquierdo del plano s hacia el plano z

Cuando en el proceso se incorpora un muestreo por impulsos, las variables complejas  y  quedan relacionadas mediante la ecuación:

Esto significa que un polo en el plano s puede quedar localizado en el plano  mediante la transformación . Dado que la variable compleja  está formada de una parte real σ y una parte imaginara ω, tenemos:

Y

En esta última ecuación se observa que los polos y los ceros en el plano , donde las frecuencias difieren en múltiplos enteros de la frecuencia de muestreo , corresponden a las mismas localizaciones en el plano . Esto significa que por cada valor de  existirá un número infinito de valores .

Dado que σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano , eso corresponde a:

El eje  en el plano  corresponde a .