Sistemas continuos de segundo orden

 En comparación con la simplicidad de un sistema de primer orden (Sistemas de primer orden), un sistema de segundo orden exhibe una amplia gama de respuestas que deben analizarse y  describirse. Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

 

La forma estándar de la función de transferencia de un sistema de 2do orden es:

El diagrama de bloques de la Figura 1 representa a un sistema de segundo orden de tipo cero. Físicamente, este diagrama puede ser el modelo de un motor DC, el modelo de una red eléctrica o de un mecanismo con resorte, amortiguador y masa. Por ello, el sistema de segundo orden es de gran interés académico, industrial y tecnológico, de los más importantes para el estudio.

 

Los sistemas de segundo orden son esenciales en el diseño de sistemas de control.

En consecuencia, es de gran utilidad entender que el modelo de la Figura 1 suele provenir de un sistema realimentado como el de la Figura 2:

El sistema de la Figura 2 se puede ver como un sistema de control básico. Una planta de segundo orden de tipo 1, con un polo en s=-2ζω_n, en serie con un controlador proporcional, y realimentación unitaria. Para diseñar un sistema de control, por excelencia se utiliza principalmente la entrada escalón unitario como señal de prueba. Es así porque a partir de ella, derivando podemos hallar la respuesta al impulso unitario, e integrando, la respuesta a la rampa unitaria. El comportamiento del sistema de control ante una entrada escalón unitario depende de estos tres factores: la ganancia k , el coeficiente de amortiguamiento ζ, y la frecuencia natural ω_n. Con solo conocer el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, podemos determinar la forma de la respuesta del sistema. Por otra parte, en ocasiones podremos cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control con sólo variar el valor de la ganancia k, como veremos en el caso siguiente, cuya respuesta aparece más adelante.

Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. 

La ecuación (1) tiene dos polos:

Las raíces del polinomio del denominador de la ecuación (1) son los polos del sistema. A continuación se muestra la clasificación general de la respuesta de sistemas de segundo orden a la entrada escalón unitario,  determinada por la posición de sus polos en el plano “s”:

 

·         Subamortiguado (polos complejos conjugados con parte real negativa)

·         Críticamente amortiguado (polos reales puros – negativos e iguales – llamado polo doble)

·         Sobreamortiguado (polos reales puros – negativos y diferentes)

·          Oscilatorio (polos imaginarios puros)

·         Inestable (polos complejos conjugados con parte real positiva)